La leyenda del ajedrez, más que un engaño logaritmico.

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El otro día le pregunte en broma a un amigo mío del trabajo lo siguiente:

-Oye mi Juan si tu pudieras ahorrar el día de hoy 1 centavo, y el día de mañana el doble de lo que ahorraste hoy que serian 2 centavos, y pasado mañana el doble de lo que ahorraste hoy que serian 4 centavos… etc.

¿Cómo cuantos días crees que podrías seguir ahorrando bajo ese sistema?

Y conste que aquí en México no tenemos monedas de a centavo, pero suponiendo que existieran, ¿cómo cuánto?

Su respuesta francamente me hizo reír, pues no tiene ni la mas remota idea de lo que significa la respuesta que me dio, pues me dijo:

“No pues, si de eso se trata de empezar a ahorrar desde un centavo, yo creo que fácil, fácil ando aguantando unos 100 días ¿no?, noooo y quien sabe chance y hasta más si no tuviera tantos gastos”

Así como yo, usted puede hacer la prueba, haciéndole a algún familiar o amigo la misma pregunta y podrá darse cuenta de la diversidad de respuestas que se va a encontrar.

A continuación quiero compartirles a ustedes una bonita historia que además de ilustrarnos de manera divertida el comportamiento logarítmico, nos enseña a reflexionar ante situaciones que parecen inofensivas (Como los porcentajes de interés o las letritas chiquitas de los contratos bancarios que tanto nos encanta leer ¿verdad?).

LEYENDA SOBRE EL TABLERO DEL AJEDREZ*

El ajedrez es un juego antiquísimo, cuenta con muchos siglos de existencia y por eso no es extraño que estén ligadas a él leyendas cuya veracidad es difícil de comprobar debido a su antigüedad. Precisamente quiero contar una de éstas. Para comprenderla no hace falta saber jugar al ajedrez; basta simplemente saber que el tablero donde se juega está dividido en 64 escaques (casillas negras y blancas, dispuestas alternativamente).

El juego del ajedrez fue inventado en la India. Cuando el rey Hindú Sheram lo conoció, quedo maravillado de lo ingenioso que era y de la variedad de posiciones que en él son posibles. Al enterarse de que el inventor era uno de sus súbditos el rey lo mando llamar con objeto de recompensarle personalmente por su acertado invento.
El inventor llamado Seta, se presentó ante el soberano; era un sabio vestido con modestia que vivía gracias a los medios que le proporcionaban sus discípulos.

- Seta quiero recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado – dijo el rey.
El sabio respondió con una inclinación.

- Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado –continuó diciendo el rey. Di la recompensa que te satisfaga y la recibirás.

Seta continuo callado.

- No seas tímido –le animo el rey. Expresa tu deseo, no escatimaré nada para satisfacerlo.

- Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto plazo para meditar la respuesta. Mañana, tras duras reflexiones, te comunicare mi petición.

Cuando el día siguiente Seta se presentó de nuevo ante el trono, dejó maravillado al rey con su petición sin precedente por su modestia.

- Soberano –dijo Seta–, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez.
- ¿un simple grano de trigo? –contesto admirado el rey.

- Si soberano, por la segunda casilla, ordena que me den dos granos; por la tercera, 4; por la cuarta, 8; por la quinta, 16; por la sexta, 32…

 

- Basta –le interrumpió irritado el rey–. Recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero de acuerdo con tu deseo; por cada casilla doble cantidad que la precedente; pero has de saber que tu petición es indigna de mi generosidad, al pedirme tan mísera recompensa menosprecias irreverente mi benevolencia. En verdad que, como sabio que eres, deberías haber dado mayor prueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retírate; mis servidores te sacaran un saco con el trigo que solicitas.

Seta sonrió, abandonó la sala y quedo esperando a la puerta del palacio.

Durante la comida el rey se acordó del inventor del ajedrez y envió para que se enteraran de si habían entregado ya al irreflexivo Seta su mezquina recompensa.

- Soberano, tu orden se está cumpliendo –fue la respuesta. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos que le corresponde.

 

El rey frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes.

Por la noche, al retirarse a descansar el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que Seta había abandonado el palacio con su saco de trigo.

- Soberano –le contestaron–, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer.

- ¿Por qué va tan despacio este asunto? –gritó iracundo el rey. Que mañana antes de que me despierte hayan entregado a Seta hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces una misma orden.

 

Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante.

El rey mandó que le hicieran entrar.

- Antes de comenzar tu informe –le dijo Sheram–, quiero saber si se ha entregado por fin a Seta la mísera recompensa que ha solicitado.
-Precisamente para eso me he atrevido a presentarme tan temprano –contestó el anciano. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Seta. Resulta una cifra tan enorme…

- Sea cual fuere su magnitud –le interrumpió con altivez el rey– mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa y por tanto, hay que entregársela.

 

- Soberano, no depende de tu voluntad cumplir semejante deseo, en todos tus graneros no existe la cantidad de trigo que exige Seta, tampoco existe en los graneros de todo el reino, hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del norte, que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo y ordena que toda la cosecha obtenida en estos campos sea entregada a Seta; sólo entonces recibirá su recompensa.

 

El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio.

- Dime, cuál es esa cifra tan monstruosa –dijo reflexionando.

- ¡Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince (18 446 744 073 709 551 615)

 

Esta es la leyenda. No podemos asegurar que haya sucedido en la realidad lo que hemos contado; sin embargo, la recompensa de que habla la leyenda debe expresarse por ese número; de ello pueden convencerse haciendo ustedes mismos el cálculo. Si se comienza por la unidad hay que sumar las siguientes cifras: 1, 2, 4, 8, etc., el resultado obtenido tras 63 duplicaciones sucesivas nos mostrará la cantidad correspondiente a la casilla 64, que deberá recibir el inventor.

Para hacernos una idea de la inmensidad de esta cifra, calculemos aproximadamente la magnitud que debería tener el granero capaz de almacenar semejante cantidad de trigo. Es sabido que un metro cúbico de trigo contiene cerca de 15 millones de granos. En ese caso, la recompensa del inventor del ajedrez debería de ocupar un volumen aproximado de 12 000 000 000 000 metros cúbicos, o lo que es lo mismo, 12,000 kilómetros cúbicos. Si el granero tuviera 4 metros de alto y 10 metros de ancho, su longitud debería de ser de 300 000 000 de kilómetros, o sea, el doble de la distancia que separa la Tierra del Sol.

El rey hindú, naturalmente no podía entregar semejante recompensa. Sin embargo, con un conocimiento sólido en matemáticas, hubiera podido librarse de esta deuda tan gravosa; para ello le habría bastado simplemente proponer a Seta que él mismo contara, grano a grano el trigo que le correspondía.

Efectivamente, si Seta, puesto a contar, hubiera trabajado noche y día contando un grano por segundo en el primer día habría contado 86,400 granos, para contar un millón de granos habría necesitado como mínimo 10 días de continuo trabajo; un metro cúbico de trigo lo habría contado aproximadamente en medio año. Por consiguiente, aunque Seta hubiera consagrado el resto de su vida a contar los granos de trigo que le correspondían habría recibido sólo una parte ínfima de la recompensa exigida.

Entonces Juan, ¿cuántos días me dijiste que podías ahorrar con ese sistema?

Saludos.

Por cierto, esta demás recordarles que Juan no es el verdadero nombre de mi compañero de trabajo, para que si algún compañero mío resulta llamarse Juan, ni me empiecen a reclamar ehhh.

*Tomado del libro Matemáticas recreativas, Y. Perelmán, Editorial Mir, Moscú, 1982.

ACTUALIZADO EL 14/enero/2011 [Se modificó el titulo]
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Comments
3 Responses to “La leyenda del ajedrez, más que un engaño logaritmico.”
  1. Mani dice:

    Hola, me gustó mucho la historia. Pero no entiendo cómo puede resultar un número impar al final de todas esas multiplicaciones por el número 2.

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